kritische-politik.de: Logik, einfache Logik, zweiwertige Aussagenlogik

kritische-politik.de: Steilkurs in einfacher Logik

Wo wird einfache Logik verwendet?
Die zweistellige Aussagenlogik wird (meist unbewußt) in Gesprächen und Argumentationen verwendet, weiterhin wird sie in der Wissenschaft (insbesondere in der Mathematik), bei der Programmierung (viele Programmierer verwenden die Aussagenlogik nur intuitiv und machen dabei manchmal Fehler bei der Klammerung und bei Verneinungen) und bei Internetsuchmaschinen verwendet. Sogar die dreiwertige Aussagenlogik wird schon verwendet, nämlich bei der Datenbankabfrage und Datenbankprogrammierung.

Eine Aussage im Sinne der zweiwertigen Aussagenlogik ist ein sprachliches Gebilde (Satz) von dem feststeht ob es wahr oder falsch ist.
Ein Satz vom dem nicht feststeht, ober er wahr oder falsch ist, zählt also im Folgenden nicht zu einer Aussage (im Sinne der zweiwertigen Aussagenlogik).
Variablen für Aussagen werden im Folgenden mit Grossbuchstaben bezeichnet.
Aussagen können mit anderen Aussagen verknüpft werden durch logische Operatoren.
Umgangssprachlich werden folgende benutzt:
und, oder, entweder oder, wenn ... dannn .., ...genau dann wennn ..., nicht.
Aussagen koennen mit Hilfe dieser Operatoren beliebig verknuepft werden.
Zusätzlich werden noch Klammern in der Aussagenlogik verwendet, welche es in der Umgangssprache nicht gibt (in der Umgangsprache wird statt einer Klammer oft eine Pause gemacht - das ist aber nicht festgelegt!)
A oder (B und C) ist z.B. nicht 'gleich' mit (A oder B) und C

w steht fuer wahr
f steht fuer falsch

Die zweiwertige Aussagenlogik:
==============================

KONJUNKTION(UND)
! A ! B ! A ^ B ! A ^ B gleichbedeutend mit: A und B
!---+---+-------!
! w ! w !   w   !
! w ! f !   f   !
! f ! w !   f   !
! f ! f !   f   !

ADJUNKTION(ODER)
! A ! B ! A v B ! A v B gleichbedeutend mit: A oder B
!---+---+-------!
! w ! w !   w   !
! w ! f !   w   !
! f ! w !   w   !
! f ! f !   f   !

DISJUNKTION(ENTWEDER ODER)
Anmerkung: v. wird eigentlich geschrieben als kleines v mit einem Punkt mittendrin.
Da der ASCII-Zeichensatz das nicht hergibt, wird im Folgenden v. geschrieben.
! A ! B ! A v. B ! A v. B gleichbedeutend mit: entweder A oder B
!---+---+--------!
! w ! w !   f    !
! w ! f !   w    !
! f ! w !   w    !
! f ! f !   f    !

SUBJUNKTION(IMPLIKATION, FOLGERUNG)
! A ! B ! A => B ! A => B gleichbedeutend mit: Wenn A dann B
!---+---+--------! A => B gleichbedeutend mit: Aus A folgt B
! w ! w !   w    ! A => B gleichbedeutend mit: B ist notwendig fuer A
! w ! f !   f    ! A => B gleichbedeutend mit: A ist hinreichend fuer B
! f ! w !   w    ! A => B gleichbedeutend mit: A impliziert B
! f ! f !   w    !

Bei einer Implikation A=>B, wird A Vorraussetzung und B Folgerung (Schluß) genannt.

A <= B gleichbedeutend mit: B => A
A <= B gleichbedeutend mit: Wenn B dann A
A <= B gleichbedeutend mit: Aus B folgt A
A <= B gleichbedeutend mit: A ist notwendig fuer B
A <= B gleichbedeutend mit: B ist hinreichend fuer A
A <= B gleichbedeutend mit: B impliziert A

BIJUNKTION(ÄQUIVALENZ, GLEICHBEDEUTUNG)
! A ! B ! A <=> B ! A <=> B gleichbedeutend mit: A ist äquivalent zu B
!---+---+---------! A <=> B gleichbedeutend mit: A gilt genau dann wenn B gilt
! w ! w !    w    ! A <=> B gleichbedeutend mit: Aus A folgt B und aus B folgt A
! w ! f !    f    !
! f ! w !    f    !
! f ! f !    w    !

NEGATION(VERNEINUNG)
! A ! -A ! -A gleichbedeutend mit: nicht A
!---+----!
! w ! f !
! f ! w !

Konvention um Klammern zu sparen:
In der Reihenfolge <=>, =>, v, ^, - bindet jeder spätere Operator stärker als der frühere.
Analog wie im algebraischen Ausdruck a + b * c das * stärker bindet als das +.
a + b * c = a + ( b * c) .
AvB^C ist gleichbedeutend mit Av(B^C)
Insbesondere ist also AvB^C nicht gleichbedeutend mit (AvB)^C.
Weiterhin ist z.B. -A^B gleichbedeutend mit (-A)^B und nicht gleichbedeutend mit -(A^B).

Die Verküpfung mehrerer Aussagevariablen mit logischen Operatoren (inclusive Klammern) nennt man eine Aussageform. Eine einzige Aussagevariable ist auch eine Aussageform. Aus einer Aussageform erhält man durch Einsetzen von Aussagen für die Variablen eine Aussage.
Anmerkung: Oft wird umgangssprachlich Aussageform mit Aussage identifiziert bzw. die Aussagevariable wird mit einer Aussage identifiziert. Tatsächlich sollte man aber daran denken, daß man erst durch Einsetzten eines konkreten Satzes (der wahr oder falsch ist) in eine Aussagevariable eine Aussage erhält.
Eine Aussageform heißt ein Gesetz oder Satz der Aussagenlogik (Tautologie, allgemeingültig, aussagenlogisch identisch), wenn sie bei jeder Belegung (ihrer Variablen mit Wahrheitswerten) den Wahrheitswert w (wahr) annimt.
Beispiel: -(A^B)<=>-Av-B ist eine immer wahre Aussage (genauer formuliert: Aussageform). Beweis für dieses Beispiele siehe unten.
A=>B ist eine Aussageform aber kein Gesetz, denn wenn A (genauer formuliert: der Wahrheitswert der Aussagenvariablen A) wahr ist und B falsch ist, ist der Wahrheitswert der Aussageform A=>B falsch.

Folgende Aussageformen sind z.B. Gesetze:
(1) ((AvB)^-A)=>B
(2) Av-A Satz vom ausgeschlossenen Dritten
(3) -(A^-A) Satz vom Widerspruch
(4) -(-A)<=>A Satz von der doppelten Verneinung
(5) -(A^B)<=>-Av-B Gesetz von De Morgan
(6) -(AvB)<=>-A^-B Gesetz von De Morgan
(7) -(A=>B)<=>A^-B
(8) -(A<=>B)<=>(A<=>-B)
(9) A=>B<=>-B=>-A Kontrapositionsgesetz
(10) A=>B<=>A^-B=>-A
(11) A=>B<=>A^-B=>B
(12) A=>B<=>A^-B=>C^-C
(13) A^(A=>B)=>B Gesetz zum Modus ponens
(14) (A=>B)^-B=>-A Gesetz zum Modus tollens
(15) (A=>B)^(B=>C)=>(A=>C) Gesetz zum Modus Barbara
(16) A=>AvB Gesetz zum Adjunktionsschluß
(16) B=>AvB Gesetz zum Adjunktionsschluß
(17) A^(BvC)<=>(A^B)v(A^C) Distributionsgesetz
(18) Av(B^C)<=>(AvB)^(AvC) Distributionsgesetz
(19) A=>B<=>-(A^-B)
(20) A=>B<=>-AvB

Beispiele fuer Aussagen;
A: Die Sonne ist rund. Diese Ausage nehmen wir für das Folgende als wahr an.
   Natürlich ist die Sonne nicht rund, sondern nur näherungsweise rund,
   aber von diesen Feinheiten sei im Folgenden abgesehen.
B: Die Sonne ist viereckig. Diese Ausage nehmen wir für das Folgende als falsch an
C: Der Mond ist rund. Diese Ausage nehmen wir für das Folgende als wahr an
D: Der Mond ist dreieckig. Diese Ausage nehmen wir für das Folgende als falsch an

Die Aussage der Aussageform A=>C erhält den Wahheitswert w (wahr), wenn wir in ihr für A den Satz hinter A: und in C den Satz hinter C: einsetzen.
Also: Wenn die Sonne rund ist dann ist der Mond rund, ist eine wahre Aussage.

Die Aussage der Aussageform A=>D erhält den Wahheitswert f (falsch), wenn wir in ihr für A den Satz hinter A: und in D den Satz hinter D: einsetzen.
Also: Wenn die Sonne rund ist dann ist der Mond dreieckig, ist eine falsche Aussage.

Die Aussage der Aussageform B=>D erhält den Wahheitswert w (wahr), wenn wir in ihr für B den Satz hinter B: und in D den Satz hinter D: einsetzen.
Also: Wenn die Sonne viereckig ist dann ist der Mond dreieckig, ist eine wahre Aussage.
Anmerkung: Aus Falschem kann man alles schliessen (Wahres und Falsches). Die Gesamtaussage bei einer Implikation ist immer wahr, wenn die Voraussetzung falsch ist!!!

Anmerkungen: Menschen, die das Wort wenn nicht verstehen oder nicht richtig zuhören, verkürzen für sich z.B. einen Satz der Form: 'Wenn Du mich haust, dann haue ich Dich' zum Satz: 'Ich haue Dich'.
In der Umgangssprache ist eine doppelte Verneinung oft eine ganz starke Verneinung. In der zweiwertigen Aussagelogik ist eine doppelte Verneinung eine Bejahung.
Die Implikation vestehen viele Menschen nicht auf Anhieb. Es wird nicht verstanden, daß aus einer falschen Voraussetzung alles gefolgert werden kann und trotzdem die Gesamtaussage richtig ist.
Viele Menschen verwechseln auch die Aussageform A=>B mit der Aussageform B=>A.
Sie verwechsen oft die Begriffe notwendig und hinreichend (siehe auch oben bei Definition von => ).

Beispiel Beweis mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
-(A^B)<=>-Av-B ist eine immer wahre Aussageform
sprachlich: nicht (A und B) ist gleichbedeutend mit nicht A oder nicht B.
Die Zeilen zwischen den !! sind Hilfskonstrukte. Mit voller Klammerung könnte wie folgt geklammet werden:
(-(A^B))<=>((-A)v(-B)) wegen der Klammeregel ist dies aber verkürzbar.
Beim Einsetzen der Warheitswerte löse man die Klammern von innen nach außen auf.
A ! B !! A^B ! -(A^B) ! -A ! -B ! -Av-B !! -(A^B)<=>-Av-B
--+---++-----+--------+----+----+-------++---------------
w ! w !! w   ! f      ! f ! f ! f     !! w
w ! f !! f   ! w      ! f ! w ! w     !! w
f ! w !! f   ! w      ! w ! f ! w     !! w
f ! f !! f   ! w      ! w ! w ! w     !! w

Die rechte Spalte hat nur Wahrheitswerte, also ist die Aussageform eine immer wahre Aussagefrorm bzw. ein Gesetz.
Indem man die Wahrheitswerte unter den jweiligen Operator schreibt, kann die Tabelle einfacher aufgeschrieben werden:
A ! B ! (-(A^B))<=>((-A)v(-B))
--+---+-----------------------
w ! w ! f w    w f f f
w ! f ! w f    w f w w
f ! w ! w f    w w w f
f ! f ! w f    w w w w
Hier ist in der zuletzt gebildeten Spalte unter dem <=> immer der Wahrheitswert wahr.

Die dreiwertige Aussagenlogik:
==============================
w steht fuer wahr
f steht fuer falsch
u steht fuer unbekannt (undefiniert, moeglich, weiss nicht, vielleicht, NULL)

! A ! B ! A ^ B ! A ^ B gleichbedeutend mit: A und B
!---+---+-------!
! w ! w !   w   !
! w ! u !   u   !
! w ! f !   f   !
! u ! w !   u   !
! u ! u !   u   !
! u ! f !   f   !
! f ! w !   f   !
! f ! u !   f   !
! f ! f !   f   !

! A ! B ! A v B ! A v B gleichbedeutend mit: A oder B
!---+---+-------!
! w ! w !   w   !
! w ! u !   w   !
! w ! f !   w   !
! u ! w !   w   !
! u ! u !   u   !
! u ! f !   u   !
! f ! w !   w   !
! f ! u !   u   !
! f ! f !   f   !

! A ! -A !
!---+----+
! w ! w !
! u ! u !
! f ! w !

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